BREVE EXPLICACIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS

 

Introducción a la Teoría de Juegos

La teoría de juegos es una rama de las matemáticas que estudia las decisiones estratégicas tomadas por individuos o grupos en situaciones donde el resultado de una persona depende de las decisiones tomadas por otros. Se aplica en diversas áreas como la economía, la política, la biología y hasta en situaciones cotidianas como el reparto de una cuenta en una comida.

Imagina que estás en una comida con 6 personas. Cada uno tiene dos opciones: pagar su propia parte o sumar todos los gastos y dividir el total entre los seis. La decisión de cada persona puede influir en el costo que finalmente pague. Aquí es donde entra la teoría de juegos, ayudando a analizar cuál sería la estrategia óptima para todos los involucrados.

 Sobre la Teoría de Juegos

1. Definición de teoría de juegos

 ¿Qué es la teoría de juegos en matemáticas y cuáles son sus aplicaciones principales?

Desarrollo: La teoría de juegos es el estudio matemático de la interacción estratégica entre agentes racionales. Se utiliza en economía para modelar mercados y competencia, en biología para entender la evolución del comportamiento, en política para diseñar estrategias electorales y en inteligencia artificial para la toma de decisiones automatizada.

Dentro de sus aplicaciones más destacadas se encuentran:

• Economía y negocios: Ayuda a analizar la competencia en mercados, fijación de precios y negociación.
• Ciencia política: Se usa para entender coaliciones, conflictos y elecciones estratégicas.
• Biología: Explica comportamientos evolutivos en especies y estrategias de supervivencia.
• Inteligencia artificial: Modela la toma de decisiones en sistemas autónomos.
• Sociología y psicología: Examina el comportamiento humano en situaciones de cooperación y conflicto.

 2. Elementos clave en la teoría de juegos

 ¿Cuáles son los elementos fundamentales en la teoría de juegos, como los jugadores, estrategias, pagos y resultados?

Desarrollo: Los principales elementos de un juego son:

• Jugadores: Son los participantes del juego. Cada jugador toma decisiones estratégicas que pueden afectar a los demás.
• Estrategias: Son las opciones disponibles para cada jugador en el juego. Pueden ser estrategias puras (una acción específica) o estrategias mixtas (combinación de acciones con ciertas probabilidades).
• Pagos: Representan las ganancias o pérdidas que un jugador obtiene en función de la estrategia elegida tanto por él como por los demás jugadores.
• Resultados: Son las combinaciones finales de estrategias y sus correspondientes pagos. Determinan cómo se distribuyen las recompensas entre los jugadores.
• Información: Dependiendo de si los jugadores conocen todas las reglas y estrategias disponibles, el juego puede clasificarse como de información perfecta o imperfecta.

 3. Tipos de juegos en teoría de juegos

Desarrollo: Los juegos en teoría de juegos se pueden clasificar en dos grandes categorías:

• Juegos cooperativos: En estos juegos, los jugadores pueden formar coaliciones y coordinar sus estrategias para maximizar el beneficio conjunto. La clave es que existen mecanismos que garantizan que los acuerdos entre jugadores sean cumplidos.
• Ejemplo: En negociaciones internacionales, países pueden colaborar para reducir aranceles y mejorar el comercio global.
• Aplicaciones: Negociaciones, sindicatos, alianzas políticas.
• Juegos no cooperativos: En estos juegos, cada jugador toma decisiones de manera individual y no existen acuerdos vinculantes entre los participantes. Se analiza el comportamiento estratégico de los jugadores sin colaboración directa.
• Ejemplo: Empresas competidoras deciden sus precios sin coordinarse, lo que puede llevar a una guerra de precios.
• Aplicaciones: Competencia empresarial, conflictos militares, estrategias electorales.

4. Estrategias dominantes

 ¿Qué es una estrategia dominante en la teoría de juegos y cómo se determina?

Desarrollo: Una estrategia dominante es aquella que proporciona el mejor resultado para un jugador, sin importar las estrategias de los demás. Se determina comparando las posibles opciones disponibles y seleccionando aquella que siempre ofrece un resultado igual o mejor.

Ejemplo:

• Consideremos dos empresas que pueden fijar precios altos o bajos. Si una empresa siempre obtiene mayores beneficios fijando un precio bajo sin importar lo que haga la otra, esta estrategia será dominante.

La identificación de estrategias dominantes es crucial porque permite predecir el comportamiento de los jugadores sin necesidad de considerar todas las posibles combinaciones de estrategias.

5. Equilibrio de Nash

¿Qué es el equilibrio de Nash en la teoría de juegos y por qué es importante?

Desarrollo: Un equilibrio de Nash ocurre cuando ningún jugador puede mejorar su resultado cambiando su estrategia unilateralmente. Es decir, cada jugador ha elegido la mejor estrategia dada la elección de los demás.

Ejemplo:

• En un mercado donde dos empresas pueden fijar precios bajos o altos, si ambas eligen un precio alto y cambiar a un precio bajo no mejora sus beneficios, están en un equilibrio de Nash.

Este concepto es fundamental porque permite identificar puntos de estabilidad en juegos estratégicos, como mercados, negociaciones y conflictos internacionales.

UN EJEMPLO EN DETALLE

La Teoría de Juegos estudia cómo los individuos toman decisiones estratégicas cuando sus elecciones afectan y son afectadas por las elecciones de otros. Aplicaremos esta teoría a un escenario común: una comida en la que participan seis personas y cómo cambia el comportamiento dependiendo de si cada uno paga lo suyo o si todos pagan a partes iguales.

 Escenario Inicial

Seis amigos se reúnen para comer en un restaurante. Existen dos formas de pagar:

1. Cada uno paga lo que ha consumido.
2. Todos dividen la cuenta en partes iguales (pago compartido).

Ahora analizaremos ambos casos desde la perspectiva de la Teoría de Juegos.

Caso 1: Cada uno paga lo suyo

En este escenario, cada persona elige lo que va a consumir sabiendo que pagará exactamente por ello. Cada comensal tiene un incentivo para controlar su gasto, ya que cualquier elección excesiva afectará solo a su propio bolsillo.

• Estrategia dominante:
  Como el pago es individual, cada persona elige racionalmente su pedido con base en sus preferencias personales y su presupuesto. Nadie tiene incentivos para consumir más de lo que realmente quiere o necesita.
• Equilibrio de Nash:
  Si todos los participantes actúan racionalmente, el gasto de cada uno refleja sus preferencias y no hay incentivo para desviarse, ya que no hay beneficios adicionales al cambiar de estrategia.

Conclusión:
Este sistema fomenta el autocontrol y el consumo responsable, ya que cada persona asume el costo de sus propias decisiones.

Caso 2: Pago a partes iguales (media de la cuenta)

En este caso, la cuenta total se divide entre seis, sin importar lo que haya consumido cada persona. Este sistema genera incentivos para consumir más de lo necesario.

• Problema de la externalidad negativa:
  Si cada persona sabe que su consumo será distribuido entre los demás, tendrá un incentivo para pedir más caro, ya que el costo extra será diluido entre todos.
• Ejemplo numérico:
• Si cada persona pidiera una comida de 20€, la cuenta total sería 120€, y cada uno pagaría 20€.
• Pero si una persona pide una comida de 40€, la cuenta total sube a 140€, y ahora cada uno paga 23,33€.
• El que pidió más caro pagó menos de lo que realmente costó su comida (40€), ya que su costo se distribuyó entre los demás.
• Dilema del free rider (polizón):
  Si alguien piensa que los demás pedirán moderadamente, tendrá un incentivo a consumir más, pues no asumirá el costo total de su decisión. Sin embargo, si todos piensan de la misma manera, la cuenta total subirá y cada uno acabará pagando más de lo que habría pagado si solo pagara lo suyo.
• Equilibrio de Nash:
  En este sistema, el equilibrio se alcanza cuando todos piden más de lo que realmente necesitan, ya que no hacerlo los dejaría en desventaja con respecto a quienes sí lo hacen.

Conclusión:
El pago compartido genera un incentivo al consumo excesivo, perjudicando a aquellos que, en un sistema individual, habrían pedido menos. La tendencia natural es que la cuenta aumente y, en consecuencia, todos terminan pagando más de lo que habrían pagado en el sistema individual.

Comparación final

Criterio	Cada uno paga lo suyo	Pago a partes iguales
Incentivo a consumir más	No, cada quien paga lo que consume	Sí, porque el costo se divide entre todos
Justicia percibida	Alta, cada quien paga su consumo	Baja, los que consumen poco subsidian a los que consumen más
Equilibrio de Nash	Se mantiene un gasto racional	Se tiende a un gasto excesivo
Dilema del polizón	No ocurre	Sí, algunos consumirán más porque no pagan todo el costo

Conclusión general

Desde la Teoría de Juegos, el pago a partes iguales genera un dilema del prisionero, donde lo racional para cada individuo (pedir más) acaba siendo perjudicial para el grupo en su conjunto. Por otro lado, pagar cada uno lo suyo mantiene un equilibrio más justo y eficiente.